Ratkaise 7x^2+x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14}\approx -0,071428571+0,371153744i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}\approx -0,071428571-0,371153744i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7x^{2}+x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 1 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-28}}{2\times 7}$$

Lisää 1 lukuun -28.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2\times 7}$$

Ota luvun -27 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{3} luvusta -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14} x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7x^{2}+x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}+x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Jaa \frac{1}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{14}. Lisää sitten \frac{1}{14}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{14} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=-\frac{1}{7}+\frac{1}{196}$$

Lisää -\frac{1}{7} lukuun \frac{1}{196} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=-\frac{27}{196}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}=-\frac{27}{196}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{196}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{14}=\frac{3\sqrt{3}i}{14} x+\frac{1}{14}=-\frac{3\sqrt{3}i}{14}$$

Vähennä \frac{1}{14} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14} x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}$$