Ratkaise 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -32 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Korota -32 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Lisää 1024 lukuun -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Ota luvun 688 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Luvun -32 vastaluku on 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 32 lukuun 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Jaa 32+4\sqrt{43} luvulla 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{43} luvusta 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Jaa 32-4\sqrt{43} luvulla 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Jaa -\frac{32}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{16}{7}. Lisää sitten -\frac{16}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{16}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Lisää -\frac{12}{7} lukuun \frac{256}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Jaa t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Lisää \frac{16}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$