Ratkaise 6x^2+5x=6

$$6 x ^ { 2 } + 5 x = 6$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 6 molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-6. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=-4 b=9$$

Kirjoita \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+5x-6.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-2=0 ja 2x+3=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+5x=6$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+5x-6=6-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 5 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Lisää 25 lukuun 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-5±13}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±13}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 13.

$$x=\frac{8}{12}$$

Supista murtoluku \frac{8}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±13}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -5.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Jaa 6 luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=1$$

Jaa \frac{5}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{12}. Lisää sitten \frac{5}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Lisää 1 lukuun \frac{25}{144}.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Vähennä \frac{5}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$