Ratkaise 6x^2+3x-1=0

$$6 x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4}\approx 0,228713554$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4}\approx -0,728713554$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+3x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 3 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24}}{2\times 6}$$

Lisää 9 lukuun 24.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{33}}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{12}$$

Jaa -3+\sqrt{33} luvulla 12.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{33}}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-3}{12}$$

Jaa -3-\sqrt{33} luvulla 12.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+3x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+3x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$6x^{2}+3x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+3x}{6}=\frac{1}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{3}{6}x=\frac{1}{6}$$

Supista murtoluku \frac{3}{6} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{6}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{1}{6} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{11}{48}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{11}{48}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{48}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}}{12} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{12}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{1}{4}$$