Ratkaise 6x^2+18x-19=0

$$6 x ^ { 2 } + 18 x - 19 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}\approx 0,827373341$$

$$x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}\approx -3,827373341$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+18x-19=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 18 ja c luvulla -19 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 6\left(-19\right)}}{2\times 6}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 6\left(-19\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-24\left(-19\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -19.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+456}}{2\times 6}$$

Lisää 324 lukuun 456.

$$x=\frac{-18±\sqrt{780}}{2\times 6}$$

Ota luvun 780 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 2\sqrt{195}.

$$x=\frac{2\sqrt{195}-18}{12}$$

Jaa -18+2\sqrt{195} luvulla 12.

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{195} luvusta -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{195}-18}{12}$$

Jaa -18-2\sqrt{195} luvulla 12.

$$x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+18x-19=0$$

Lisää 19 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+18x-19-\left(-19\right)=-\left(-19\right)$$

Kun luku -19 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+18x=-\left(-19\right)$$

Vähennä -19 luvusta 0.

$$6x^{2}+18x=19$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+18x}{6}=\frac{19}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{18}{6}x=\frac{19}{6}$$

Jaa 18 luvulla 6.

$$x^{2}+3x=\frac{19}{6}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{19}{6}+\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{19}{6} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{65}{12}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{65}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{12}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{195}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{195}}{6}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$