Ratkaise 6x^2+37x-13=0

$$6 { x }^{ 2 } +37x-13=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-13. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=37 ab=6\left(-13\right)=-78$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -78.

$$-1,78 -2,39 -3,26 -6,13$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+78=77 -2+39=37 -3+26=23 -6+13=7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 37.

$$a=-2 b=39$$

Kirjoita \left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+37x-13.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 13.

$$2x\left(3x-1\right)+13\left(3x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+13\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-1=0 ja 2x+13=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 37 ja c luvulla -13 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Korota 37 neliöön.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-24\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -13.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369+312}}{2\times 6}$$

Lisää 1369 lukuun 312.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1681}}{2\times 6}$$

Ota luvun 1681 neliöjuuri.

$$x=\frac{-37±41}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-37±41}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-37±41}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -37 lukuun 41.

$$x=\frac{4}{12}$$

Supista murtoluku \frac{4}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-37±41}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 41 luvusta -37.

$$x=-\frac{78}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-78}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Lisää 13 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+37x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Kun luku -13 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+37x=-\left(-13\right)$$

Vähennä -13 luvusta 0.

$$6x^{2}+37x=13$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+37x}{6}=\frac{13}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x=\frac{13}{6}$$

Jaa \frac{37}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{37}{12}. Lisää sitten \frac{37}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{13}{6}+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{37}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{13}{6}+\frac{1369}{144}$$

Lisää \frac{13}{6} lukuun \frac{1369}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{1681}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{1681}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{37}{12}=\frac{41}{12} x+\frac{37}{12}=-\frac{41}{12}$$

Vähennä \frac{37}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$