Ratkaise 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-7. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 19.

$$a=-2 b=21$$

Kirjoita \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+19x-7.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-1=0 ja 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 19 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Korota 19 neliöön.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Lisää 361 lukuun 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Ota luvun 529 neliöjuuri.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-19±23}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -19 lukuun 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Supista murtoluku \frac{4}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-19±23}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 23 luvusta -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-42}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Jaa \frac{19}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{19}{12}. Lisää sitten \frac{19}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{19}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Lisää \frac{7}{6} lukuun \frac{361}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Vähennä \frac{19}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$