Ratkaise 6x^2+11x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x-10=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx-10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=11 ab=6\left(-10\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 11.

$$a=-4 b=15$$

Kirjoita \left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right) uudelleen muodossa 6x^{2}+11x-10.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$2x\left(3x-2\right)+5\left(3x-2\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-2=0 ja 2x+5=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 11 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja -10.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 6}$$

Lisää 121 lukuun 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Ota luvun 361 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{-11±19}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±19}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun 19.

$$x=\frac{8}{12}$$

Supista murtoluku \frac{8}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±19}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 19 luvusta -11.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{12} luvulla 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x^{2}+11x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$6x^{2}+11x=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$6x^{2}+11x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=\frac{10}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{10}{6} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{5}{3}$$

Jaa \frac{11}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{12}. Lisää sitten \frac{11}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{5}{3}+\frac{121}{144}$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun \frac{121}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{361}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{19}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{19}{12}$$

Vähennä \frac{11}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$