Ratkaise 5x^2-35x-90=0

$$5 x ^ { 2 } - 35 x - 90 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=9$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-18. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -7.

$$a=-9 b=2$$

Kirjoita \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right) uudelleen muodossa x^{2}-7x-18.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

Jaa yleinen termi x-9 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-9=0 ja x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -35 ja c luvulla -90 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Korota -35 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-20\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -90.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+1800}}{2\times 5}$$

Lisää 1225 lukuun 1800.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{3025}}{2\times 5}$$

Ota luvun 3025 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±55}{2\times 5}$$

Luvun -35 vastaluku on 35.

$$x=\frac{35±55}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{35±55}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{35±55}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 35 lukuun 55.

$$x=\frac{90}{10}$$

Jaa 90 luvulla 10.

$$x=9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{35±55}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 55 luvusta 35.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Jaa -20 luvulla 10.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=9 x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Lisää 90 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-35x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Kun luku -90 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-35x=-\left(-90\right)$$

Vähennä -90 luvusta 0.

$$5x^{2}-35x=90$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-35x}{5}=\frac{90}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{35}{5}\right)x=\frac{90}{5}$$

Jaa -35 luvulla 5.

$$x^{2}-7x=\frac{90}{5}$$

Jaa 90 luvulla 5.

$$x^{2}-7x=18$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Lisää 18 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=9 x=-2$$