Ratkaise 5x^2=3x-7

$$5 x ^ { 2 } = 3 x - 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{131}i}{10}\approx 0,3+1,144552314i$$

$$x=\frac{-\sqrt{131}i+3}{10}\approx 0,3-1,144552314i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-3x=-7$$

Lisää 7 molemmille puolille.

$$5x^{2}-3x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -3 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\times 7}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-140}}{2\times 5}$$

Lisää 9 lukuun -140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-131}}{2\times 5}$$

Ota luvun -131 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{131}i}{2\times 5}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{131}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{3±\sqrt{131}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{131}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun i\sqrt{131}.

$$x=\frac{3+\sqrt{131}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{131}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{131} luvusta 3.

$$x=\frac{-\sqrt{131}i+3}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3+\sqrt{131}i}{10} x=\frac{-\sqrt{131}i+3}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-3x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Jaa -\frac{3}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{10}. Lisää sitten -\frac{3}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{7}{5}+\frac{9}{100}$$

Lisää -\frac{7}{5} lukuun \frac{9}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{131}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{131}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{131}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{131}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{131}i}{10}$$

Lisää \frac{3}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{131}i}{10} x=\frac{-\sqrt{131}i+3}{10}$$