Ratkaise 5x^2=23x+42

$$5 x ^ { 2 } = 23 x + 42$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 23x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-23x=42$$

Vähennä 42 molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-23x-42=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx-42. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-23 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -23.

$$a=-30 b=7$$

Kirjoita \left(5x^{2}-30x\right)+\left(7x-42\right) uudelleen muodossa 5x^{2}-23x-42.

$$\left(5x^{2}-30x\right)+\left(7x-42\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$5x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(5x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja 5x+7=0.

$$x=6 x=-\frac{7}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 23x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-23x=42$$

Vähennä 42 molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-23x-42=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -23 ja c luvulla -42 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Korota -23 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -42.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+840}}{2\times 5}$$

Lisää 529 lukuun 840.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{1369}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1369 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±37}{2\times 5}$$

Luvun -23 vastaluku on 23.

$$x=\frac{23±37}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{23±37}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±37}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 23 lukuun 37.

$$x=\frac{60}{10}$$

Jaa 60 luvulla 10.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{23±37}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 37 luvusta 23.

$$x=-\frac{14}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-\frac{7}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 23x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-23x=42$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-23x}{5}=\frac{42}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x=\frac{42}{5}$$

Jaa -\frac{23}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{23}{10}. Lisää sitten -\frac{23}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x+\left(-\frac{23}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{23}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{23}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x+\frac{529}{100}=\frac{42}{5}+\frac{529}{100}$$

Lisää \frac{42}{5} lukuun \frac{529}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x+\frac{529}{100}=\frac{1369}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{23}{5}x+\frac{529}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{10}\right)^{2}=\frac{1369}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{23}{10}=\frac{37}{10} x-\frac{23}{10}=-\frac{37}{10}$$

Lisää \frac{23}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=-\frac{7}{5}$$