Ratkaise 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 6 ja c luvulla 10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Lisää 36 lukuun -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Ota luvun -164 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Jaa -6+2i\sqrt{41} luvulla 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{41} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Jaa -6-2i\sqrt{41} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Jaa -10 luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Jaa \frac{6}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{5}. Lisää sitten \frac{3}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Lisää -2 lukuun \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Vähennä \frac{3}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$