Ratkaise 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -72 ja c luvulla -108 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Korota -72 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Lisää 5184 lukuun 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Ota luvun 7344 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Luvun -72 vastaluku on 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 72 lukuun 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Jaa 72+12\sqrt{51} luvulla 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12\sqrt{51} luvusta 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Jaa 72-12\sqrt{51} luvulla 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Lisää 108 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Kun luku -108 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Vähennä -108 luvusta 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Jaa -\frac{72}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{36}{5}. Lisää sitten -\frac{36}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{36}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Lisää \frac{108}{5} lukuun \frac{1296}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Jaa t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Lisää \frac{36}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$