Ratkaise 48x^2-52x-26=0

$$48 x ^ { 2 } - 52 x - 26 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{481} + 13}{24} \approx 1,455488008$$

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}\approx -0,372154675$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 48, b luvulla -52 ja c luvulla -26 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Korota -52 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Kerro -4 ja 48.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-192\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Kerro -192 ja -26.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704+4992}}{2\times 48}$$

Lisää 2704 lukuun 4992.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{7696}}{2\times 48}$$

Ota luvun 7696 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

Luvun -52 vastaluku on 52.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

Kerro 2 ja 48.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 52 lukuun 4\sqrt{481}.

$$x=\frac{4\sqrt{481}+52}{96}$$

Jaa 52+4\sqrt{481} luvulla 96.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{481} luvusta 52.

$$x=\frac{52-4\sqrt{481}}{96}$$

Jaa 52-4\sqrt{481} luvulla 96.

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

Lisää 26 yhtälön kummallekin puolelle.

$$48x^{2}-52x-26-\left(-26\right)=-\left(-26\right)$$

Kun luku -26 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$48x^{2}-52x=-\left(-26\right)$$

Vähennä -26 luvusta 0.

$$48x^{2}-52x=26$$

Jaa molemmat puolet luvulla 48.

$$\frac{48x^{2}-52x}{48}=\frac{26}{48}$$

Jakaminen luvulla 48 kumoaa kertomisen luvulla 48.

$$x^{2}+\left(-\frac{52}{48}\right)x=\frac{26}{48}$$

Supista murtoluku \frac{-52}{48} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{26}{48}$$

Supista murtoluku \frac{26}{48} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{13}{24}$$

Jaa -\frac{13}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{24}. Lisää sitten -\frac{13}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{13}{24}+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{13}{24}+\frac{169}{576}$$

Lisää \frac{13}{24} lukuun \frac{169}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{481}{576}$$

Jaa x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{481}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{481}{576}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{24}=\frac{\sqrt{481}}{24} x-\frac{13}{24}=-\frac{\sqrt{481}}{24}$$

Lisää \frac{13}{24} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$