Ratkaise 48t^2-98t+49=0

$$48 t ^ { 2 } - 98 t + 49 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{7}{8}=0,875$$

$$t = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1,166666667$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$48t^{2}-98t+49=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 48, b luvulla -98 ja c luvulla 49 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{\left(-98\right)^{2}-4\times 48\times 49}}{2\times 48}$$

Korota -98 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-4\times 48\times 49}}{2\times 48}$$

Kerro -4 ja 48.

$$t=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-192\times 49}}{2\times 48}$$

Kerro -192 ja 49.

$$t=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-9408}}{2\times 48}$$

Lisää 9604 lukuun -9408.

$$t=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{196}}{2\times 48}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-98\right)±14}{2\times 48}$$

Luvun -98 vastaluku on 98.

$$t=\frac{98±14}{2\times 48}$$

Kerro 2 ja 48.

$$t=\frac{98±14}{96}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{98±14}{96}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 98 lukuun 14.

$$t=\frac{112}{96}$$

Supista murtoluku \frac{112}{96} luvulla 16.

$$t=\frac{7}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{98±14}{96}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta 98.

$$t=\frac{84}{96}$$

Supista murtoluku \frac{84}{96} luvulla 12.

$$t=\frac{7}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{7}{6} t=\frac{7}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$48t^{2}-98t+49=0$$

Vähennä 49 yhtälön molemmilta puolilta.

$$48t^{2}-98t+49-49=-49$$

Kun luku 49 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$48t^{2}-98t=-49$$

Jaa molemmat puolet luvulla 48.

$$\frac{48t^{2}-98t}{48}=-\frac{49}{48}$$

Jakaminen luvulla 48 kumoaa kertomisen luvulla 48.

$$t^{2}+\left(-\frac{98}{48}\right)t=-\frac{49}{48}$$

Supista murtoluku \frac{-98}{48} luvulla 2.

$$t^{2}-\frac{49}{24}t=-\frac{49}{48}$$

Jaa -\frac{49}{24} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{49}{48}. Lisää sitten -\frac{49}{48}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{49}{24}t+\left(-\frac{49}{48}\right)^{2}=-\frac{49}{48}+\left(-\frac{49}{48}\right)^{2}$$

Korota -\frac{49}{48} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{49}{24}t+\frac{2401}{2304}=-\frac{49}{48}+\frac{2401}{2304}$$

Lisää -\frac{49}{48} lukuun \frac{2401}{2304} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{49}{24}t+\frac{2401}{2304}=\frac{49}{2304}$$

Jaa t^{2}-\frac{49}{24}t+\frac{2401}{2304} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{49}{48}\right)^{2}=\frac{49}{2304}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{49}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{2304}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{49}{48}=\frac{7}{48} t-\frac{49}{48}=-\frac{7}{48}$$

Lisää \frac{49}{48} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{7}{6} t=\frac{7}{8}$$