Ratkaise 450=x(100-2x)

$$450=x(100-2x)$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5$$

$$x=45$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x ja 100-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$450=100x-2x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$100x-2x^{2}=450$$

Vähennä 450 molemmilta puolilta.

$$100x-2x^{2}-450=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+100x-450=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 100 ja c luvulla -450 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-2\right)\left(-450\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 100 neliöön.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-2\right)\left(-450\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+8\left(-450\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -450.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3600}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 10000 lukuun -3600.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6400}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 6400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-100±80}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-100±80}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-100±80}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -100 lukuun 80.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Jaa -20 luvulla -4.

$$x=5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-100±80}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 80 luvusta -100.

$$x=-\frac{180}{-4}$$

Jaa -180 luvulla -4.

$$x=45$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5 x=45$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x ja 100-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$450=100x-2x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$100x-2x^{2}=450$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+100x=450$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+100x}{-2}=\frac{450}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{100}{-2}x=\frac{450}{-2}$$

Jaa 100 luvulla -2.

$$x^{2}-50x=\frac{450}{-2}$$

Jaa 450 luvulla -2.

$$x^{2}-50x=-225$$

Jaa -50 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -25. Lisää sitten -25:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-50x+\left(-25\right)^{2}=-225+\left(-25\right)^{2}$$

Korota -25 neliöön.

$$x^{2}-50x+625=-225+625$$

Lisää -225 lukuun 625.

$$x^{2}-50x+625=400$$

Jaa x^{2}-50x+625 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-25\right)^{2}=400$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-25\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Sievennä.

$$x-25=20 x-25=-20$$

Lisää 25 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=45 x=5$$