Ratkaise 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja 30-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Selvitä 100x yhdistämällä 40x ja 60x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Vähennä 200 molemmilta puolilta.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 100 ja c luvulla -200 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 100 neliöön.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 10000 lukuun -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 6800 neliöjuuri.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -100 lukuun 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Jaa -100+20\sqrt{17} luvulla -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20\sqrt{17} luvusta -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Jaa -100-20\sqrt{17} luvulla -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja 30-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Selvitä 100x yhdistämällä 40x ja 60x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Jaa 100 luvulla -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Jaa 200 luvulla -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Jaa -25 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{25}{2}. Lisää sitten -\frac{25}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{25}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Lisää -50 lukuun \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Jaa x^{2}-25x+\frac{625}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Lisää \frac{25}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$