Ratkaise 4x-2y=28text{and}x=y+5

$$4 x - 2 y = 28 \text { and } x = y + 5$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=9$$

$$y=4$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä y molemmilta puolilta.

$$x-y=5$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$4x-2y=28$$

Lisää 2y yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x=2y+28$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+28\right)$$

Kerro \frac{1}{4} ja 28+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+7$$

Korvaa x arvolla \frac{y}{2}+7 toisessa yhtälössä, x-y=5.

$$\frac{1}{2}y+7-y=5$$

Lisää \frac{y}{2} lukuun -y.

$$-\frac{1}{2}y+7=5$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Kerro molemmat puolet luvulla -2.

$$y=4$$

Korvaa y arvolla 4 yhtälössä x=\frac{1}{2}y+7. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+7$$

Kerro \frac{1}{2} ja 4.

$$x=2+7$$

Lisää 7 lukuun 2.

$$x=9$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=9,y=4$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä y molemmilta puolilta.

$$x-y=5$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\\frac{1}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 28-5\\\frac{1}{2}\times 28-2\times 5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=9,y=4$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä y molemmilta puolilta.

$$x-y=5$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Jos haluat saada luvut 4x ja x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4.

$$4x-2y=28,4x+4\left(-1\right)y=4\times 5$$

Sievennä.

$$4x-2y=28,4x-4y=20$$

Vähennä 4x-4y=20 lausekkeesta 4x-2y=28 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$4x-4x-2y+4y=28-20$$

Lisää 4x lukuun -4x. Termit 4x ja -4x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-2y+4y=28-20$$

Lisää -2y lukuun 4y.

$$2y=28-20$$

Lisää 28 lukuun -20.

$$2y=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$y=4$$

Korvaa y arvolla 4 yhtälössä x-y=5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x-4=5$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=9$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=9,y=4$$