Ratkaise 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -8.

$$a=-10 b=2$$

Kirjoita \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-8x-5.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Jaa yleinen termi 2x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-5=0 ja 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -8 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Lisää 64 lukuun 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±12}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Supista murtoluku \frac{20}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±12}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Jaa -8 luvulla 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$