Ratkaise 4x^2-20x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-11. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -20.

$$a=-22 b=2$$

Kirjoita \left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-20x-11.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 4x^{2}-22x.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

Jaa yleinen termi 2x-11 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-11=0 ja 2x+1=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -20 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Korota -20 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Lisää 400 lukuun 176.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Ota luvun 576 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

Luvun -20 vastaluku on 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±24}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 20 lukuun 24.

$$x=\frac{44}{8}$$

Supista murtoluku \frac{44}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±24}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24 luvusta 20.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Lisää 11 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Kun luku -11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

Vähennä -11 luvusta 0.

$$4x^{2}-20x=11$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

Jaa -20 luvulla 4.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Lisää \frac{11}{4} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$