Ratkaise 4x^2=7-9x

$$4 x ^ { 2 } = 7 - 9 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{193}-9}{8}\approx 0,611555499$$

$$x=\frac{-\sqrt{193}-9}{8}\approx -2,861555499$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 7 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-7=-9x$$

Lisää 9x molemmille puolille.

$$4x^{2}-7+9x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+9x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 9 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+112}}{2\times 4}$$

Lisää 81 lukuun 112.

$$x=\frac{-9±\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{193}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{193}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{193}.

$$x=\frac{\sqrt{193}-9}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{193}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{193} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{193}-9}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{193}-9}{8} x=\frac{-\sqrt{193}-9}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 9x molemmille puolille.

$$4x^{2}+9x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+9x}{4}=\frac{7}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x=\frac{7}{4}$$

Jaa \frac{9}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{8}. Lisää sitten \frac{9}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\left(\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{7}{4}+\frac{81}{64}$$

Lisää \frac{7}{4} lukuun \frac{81}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{193}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{193}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{193}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{193}}{8} x+\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{193}}{8}$$

Vähennä \frac{9}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{193}-9}{8} x=\frac{-\sqrt{193}-9}{8}$$