Ratkaise 4x^2+6x-1>0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 1 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4x^{2}+6x-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan 6 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} ja x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} ja x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} ja x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} ovat molemmat positiivisia.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$