Ratkaise 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 28 ja c luvulla 53 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Korota 28 neliöön.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Lisää 784 lukuun -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Ota luvun -64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-28±8i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -28 lukuun 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Jaa -28+8i luvulla 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-28±8i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i luvusta -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Jaa -28-8i luvulla 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Vähennä 53 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Kun luku 53 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Jaa 28 luvulla 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Jaa 7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{2}. Lisää sitten \frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Lisää -\frac{53}{4} lukuun \frac{49}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Jaa x^{2}+7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Vähennä \frac{7}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$