Ratkaise 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 21 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Vähennä 21 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 1.

$$a=-4 b=5$$

Kirjoita \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+x-10.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Jaa yleinen termi x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-2=0 ja 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Vähennä 21 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Kun luku 21 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Vähennä 21 luvusta 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 2 ja c luvulla -20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Lisää 4 lukuun 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Ota luvun 324 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±18}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Jaa 16 luvulla 8.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±18}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 18 luvusta -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Vähennä 1 luvusta 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Jaa 20 luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Lisää 5 lukuun \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$