Ratkaise 4x^2+16x+7=0

$$4 x ^ { 2 } + 16 x + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx+7. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=16 ab=4\times 7=28$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 16.

$$a=2 b=14$$

Kirjoita \left(4x^{2}+2x\right)+\left(14x+7\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+16x+7.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(14x+7\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$2x\left(2x+1\right)+7\left(2x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 2x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x+1=0 ja 2x+7=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+16x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 16 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-16\times 7}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 7.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-112}}{2\times 4}$$

Lisää 256 lukuun -112.

$$x=\frac{-16±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±12}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-16±12}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±12}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±12}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta -16.

$$x=-\frac{28}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-28}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+16x+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+16x+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+16x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+16x}{4}=-\frac{7}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{16}{4}x=-\frac{7}{4}$$

Jaa 16 luvulla 4.

$$x^{2}+4x=-\frac{7}{4}$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{7}{4}+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{7}{4}+4$$

Lisää -\frac{7}{4} lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x+2=\frac{3}{2} x+2=-\frac{3}{2}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$