Ratkaise 4x+102=-20x(3-6x)

$$4 x + 102 = - 20 x ( 3 - 6 x )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx 1,226412003$$

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx -0,69307867$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen -20x ja 3-6x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Lisää 60x molemmille puolille.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Selvitä 64x yhdistämällä 4x ja 60x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Vähennä 120x^{2} molemmilta puolilta.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-120x^{2}+64x+102=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -120, b luvulla 64 ja c luvulla 102 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Korota 64 neliöön.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Kerro -4 ja -120.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+480\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Kerro 480 ja 102.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+48960}}{2\left(-120\right)}$$

Lisää 4096 lukuun 48960.

$$x=\frac{-64±\sqrt{53056}}{2\left(-120\right)}$$

Ota luvun 53056 neliöjuuri.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{2\left(-120\right)}$$

Kerro 2 ja -120.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -64 lukuun 8\sqrt{829}.

$$x=\frac{8\sqrt{829}-64}{-240}$$

Jaa -64+8\sqrt{829} luvulla -240.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{829} luvusta -64.

$$x=\frac{-8\sqrt{829}-64}{-240}$$

Jaa -64-8\sqrt{829} luvulla -240.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen -20x ja 3-6x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Lisää 60x molemmille puolille.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Selvitä 64x yhdistämällä 4x ja 60x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Vähennä 120x^{2} molemmilta puolilta.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Vähennä 102 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$64x-120x^{2}=-102$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-120x^{2}+64x=-102$$

Jaa molemmat puolet luvulla -120.

$$\frac{-120x^{2}+64x}{-120}=-\frac{102}{-120}$$

Jakaminen luvulla -120 kumoaa kertomisen luvulla -120.

$$x^{2}+\frac{64}{-120}x=-\frac{102}{-120}$$

Supista murtoluku \frac{64}{-120} luvulla 8.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{102}{-120}$$

Supista murtoluku \frac{-102}{-120} luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{17}{20}$$

Jaa -\frac{8}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{15}. Lisää sitten -\frac{4}{15}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{17}{20}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{15} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{17}{20}+\frac{16}{225}$$

Lisää \frac{17}{20} lukuun \frac{16}{225} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{829}{900}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{829}{900}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{829}{900}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{829}}{30} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{829}}{30}$$

Lisää \frac{4}{15} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$