Ratkaise 4m^2-36m+26=0

$$4 m ^ { 2 } - 36 m + 26 = 0$$

Ratkaise muuttujan m suhteen

$$m = \frac{\sqrt{55} + 9}{2} \approx 8,208099244$$

$$m=\frac{9-\sqrt{55}}{2}\approx 0,791900756$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4m^{2}-36m+26=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -36 ja c luvulla 26 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 4\times 26}}{2\times 4}$$

Korota -36 neliöön.

$$m=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 4\times 26}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$m=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-16\times 26}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 26.

$$m=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-416}}{2\times 4}$$

Lisää 1296 lukuun -416.

$$m=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{880}}{2\times 4}$$

Ota luvun 880 neliöjuuri.

$$m=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{55}}{2\times 4}$$

Luvun -36 vastaluku on 36.

$$m=\frac{36±4\sqrt{55}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$m=\frac{36±4\sqrt{55}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{36±4\sqrt{55}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 36 lukuun 4\sqrt{55}.

$$m=\frac{4\sqrt{55}+36}{8}$$

Jaa 36+4\sqrt{55} luvulla 8.

$$m=\frac{\sqrt{55}+9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{36±4\sqrt{55}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{55} luvusta 36.

$$m=\frac{36-4\sqrt{55}}{8}$$

Jaa 36-4\sqrt{55} luvulla 8.

$$m=\frac{9-\sqrt{55}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$m=\frac{\sqrt{55}+9}{2} m=\frac{9-\sqrt{55}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4m^{2}-36m+26=0$$

Vähennä 26 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4m^{2}-36m+26-26=-26$$

Kun luku 26 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4m^{2}-36m=-26$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4m^{2}-36m}{4}=-\frac{26}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$m^{2}+\left(-\frac{36}{4}\right)m=-\frac{26}{4}$$

Jaa -36 luvulla 4.

$$m^{2}-9m=-\frac{26}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-26}{4} luvulla 2.

$$m^{2}-9m=-\frac{13}{2}$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$m^{2}-9m+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{13}{2}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$m^{2}-9m+\frac{81}{4}=-\frac{13}{2}+\frac{81}{4}$$

Lisää -\frac{13}{2} lukuun \frac{81}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$m^{2}-9m+\frac{81}{4}=\frac{55}{4}$$

Jaa m^{2}-9m+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{55}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(m-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{55}{4}}$$

Sievennä.

$$m-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{55}}{2} m-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{55}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$m=\frac{\sqrt{55}+9}{2} m=\frac{9-\sqrt{55}}{2}$$