Ratkaise 4x^2-63x+270=0

$$4 { x }^{ 2 } -63x+270=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8}\approx 7,875+2,341874249i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}\approx 7,875-2,341874249i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-63x+270=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -63 ja c luvulla 270 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{\left(-63\right)^{2}-4\times 4\times 270}}{2\times 4}$$

Korota -63 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{3969-4\times 4\times 270}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{3969-16\times 270}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 270.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{3969-4320}}{2\times 4}$$

Lisää 3969 lukuun -4320.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{-351}}{2\times 4}$$

Ota luvun -351 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±3\sqrt{39}i}{2\times 4}$$

Luvun -63 vastaluku on 63.

$$x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 63 lukuun 3i\sqrt{39}.

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{39} luvusta 63.

$$x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-63x+270=0$$

Vähennä 270 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-63x+270-270=-270$$

Kun luku 270 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-63x=-270$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-63x}{4}=-\frac{270}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x=-\frac{270}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-270}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x=-\frac{135}{2}$$

Jaa -\frac{63}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{63}{8}. Lisää sitten -\frac{63}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x+\left(-\frac{63}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{2}+\left(-\frac{63}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{63}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x+\frac{3969}{64}=-\frac{135}{2}+\frac{3969}{64}$$

Lisää -\frac{135}{2} lukuun \frac{3969}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x+\frac{3969}{64}=-\frac{351}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{63}{4}x+\frac{3969}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{63}{8}\right)^{2}=-\frac{351}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{63}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{351}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{63}{8}=\frac{3\sqrt{39}i}{8} x-\frac{63}{8}=-\frac{3\sqrt{39}i}{8}$$

Lisää \frac{63}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}$$