Ratkaise 4x^2-4x+7=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x+7=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}\approx 0,5+1,224744871i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}\approx 0,5-1,224744871i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -4 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\times 7}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-112}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun -112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-96}}{2\times 4}$$

Ota luvun -96 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 4i\sqrt{6}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{6}i}{8}$$

Jaa 4+4i\sqrt{6} luvulla 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{6} luvusta 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i+4}{8}$$

Jaa 4-4i\sqrt{6} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-4x+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-4x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{7}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{7}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}-x=-\frac{7}{4}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-7+1}{4}$$

Lisää -\frac{7}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{2}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{2}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}i}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$