Ratkaise 4x^2+40x+16800=0

$$4 { x }^{ 2 } +40x+16800=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-5+5\sqrt{167}i\approx -5+64,614239917i$$

$$x=-5\sqrt{167}i-5\approx -5-64,614239917i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+40x+16800=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 40 ja c luvulla 16800 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 4\times 16800}}{2\times 4}$$

Korota 40 neliöön.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 4\times 16800}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-16\times 16800}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 16800.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-268800}}{2\times 4}$$

Lisää 1600 lukuun -268800.

$$x=\frac{-40±\sqrt{-267200}}{2\times 4}$$

Ota luvun -267200 neliöjuuri.

$$x=\frac{-40±40\sqrt{167}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-40±40\sqrt{167}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-40±40\sqrt{167}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -40 lukuun 40i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-40+40\sqrt{167}i}{8}$$

Jaa -40+40i\sqrt{167} luvulla 8.

$$x=-5+5\sqrt{167}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-40±40\sqrt{167}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40i\sqrt{167} luvusta -40.

$$x=\frac{-40\sqrt{167}i-40}{8}$$

Jaa -40-40i\sqrt{167} luvulla 8.

$$x=-5\sqrt{167}i-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-5+5\sqrt{167}i x=-5\sqrt{167}i-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+40x+16800=0$$

Vähennä 16800 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+40x+16800-16800=-16800$$

Kun luku 16800 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+40x=-16800$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+40x}{4}=-\frac{16800}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{40}{4}x=-\frac{16800}{4}$$

Jaa 40 luvulla 4.

$$x^{2}+10x=-\frac{16800}{4}$$

Jaa -16800 luvulla 4.

$$x^{2}+10x=-4200$$

Jaa 10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 5. Lisää sitten 5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-4200+5^{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x^{2}+10x+25=-4200+25$$

Lisää -4200 lukuun 25.

$$x^{2}+10x+25=-4175$$

Jaa x^{2}+10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=-4175$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{-4175}$$

Sievennä.

$$x+5=5\sqrt{167}i x+5=-5\sqrt{167}i$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-5+5\sqrt{167}i x=-5\sqrt{167}i-5$$