Ratkaise 4*9t^2+19*6t-2*9=0

$$4 \cdot 9 t ^ { 2 } + 19 \cdot 6 t - 2 \cdot 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{\sqrt{433}-19}{12}\approx 0,150721004$$

$$t=\frac{-\sqrt{433}-19}{12}\approx -3,317387671$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Suorita kertolaskut.

$$36t^{2}+114t-2\times 9=0$$

Kerro 2 ja 9, niin saadaan 18.

$$36t^{2}+114t-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 36, b luvulla 114 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-114±\sqrt{114^{2}-4\times 36\left(-18\right)}}{2\times 36}$$

Korota 114 neliöön.

$$t=\frac{-114±\sqrt{12996-4\times 36\left(-18\right)}}{2\times 36}$$

Kerro -4 ja 36.

$$t=\frac{-114±\sqrt{12996-144\left(-18\right)}}{2\times 36}$$

Kerro -144 ja -18.

$$t=\frac{-114±\sqrt{12996+2592}}{2\times 36}$$

Lisää 12996 lukuun 2592.

$$t=\frac{-114±\sqrt{15588}}{2\times 36}$$

Ota luvun 15588 neliöjuuri.

$$t=\frac{-114±6\sqrt{433}}{2\times 36}$$

Kerro 2 ja 36.

$$t=\frac{-114±6\sqrt{433}}{72}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-114±6\sqrt{433}}{72}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -114 lukuun 6\sqrt{433}.

$$t=\frac{6\sqrt{433}-114}{72}$$

Jaa -114+6\sqrt{433} luvulla 72.

$$t=\frac{\sqrt{433}-19}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-114±6\sqrt{433}}{72}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{433} luvusta -114.

$$t=\frac{-6\sqrt{433}-114}{72}$$

Jaa -114-6\sqrt{433} luvulla 72.

$$t=\frac{-\sqrt{433}-19}{12}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{\sqrt{433}-19}{12} t=\frac{-\sqrt{433}-19}{12}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Suorita kertolaskut.

$$36t^{2}+114t-2\times 9=0$$

Kerro 2 ja 9, niin saadaan 18.

$$36t^{2}+114t-18=0$$

Lisää 18 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$36t^{2}+114t=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 36.

$$\frac{36t^{2}+114t}{36}=\frac{18}{36}$$

Jakaminen luvulla 36 kumoaa kertomisen luvulla 36.

$$t^{2}+\frac{114}{36}t=\frac{18}{36}$$

Supista murtoluku \frac{114}{36} luvulla 6.

$$t^{2}+\frac{19}{6}t=\frac{18}{36}$$

Supista murtoluku \frac{18}{36} luvulla 18.

$$t^{2}+\frac{19}{6}t=\frac{1}{2}$$

Jaa \frac{19}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{19}{12}. Lisää sitten \frac{19}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}+\frac{19}{6}t+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{19}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}+\frac{19}{6}t+\frac{361}{144}=\frac{1}{2}+\frac{361}{144}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{361}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}+\frac{19}{6}t+\frac{361}{144}=\frac{433}{144}$$

Jaa t^{2}+\frac{19}{6}t+\frac{361}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{433}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{433}{144}}$$

Sievennä.

$$t+\frac{19}{12}=\frac{\sqrt{433}}{12} t+\frac{19}{12}=-\frac{\sqrt{433}}{12}$$

Vähennä \frac{19}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$t=\frac{\sqrt{433}-19}{12} t=\frac{-\sqrt{433}-19}{12}$$