Ratkaise 3782x^2+165735x+91*10^6=0

$$3782 x ^ { 2 } + 165735 x + 91 \times 10 ^ { 6 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-165735+5\sqrt{53967196391}i}{7564}\approx -21,911025912+153,561877262i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{53967196391}i-165735}{7564}\approx -21,911025912-153,561877262i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3782x^{2}+165735x+91000000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3782, b luvulla 165735 ja c luvulla 91000000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-165735±\sqrt{165735^{2}-4\times 3782\times 91000000}}{2\times 3782}$$

Korota 165735 neliöön.

$$x=\frac{-165735±\sqrt{27468090225-4\times 3782\times 91000000}}{2\times 3782}$$

Kerro -4 ja 3782.

$$x=\frac{-165735±\sqrt{27468090225-15128\times 91000000}}{2\times 3782}$$

Kerro -15128 ja 91000000.

$$x=\frac{-165735±\sqrt{27468090225-1376648000000}}{2\times 3782}$$

Lisää 27468090225 lukuun -1376648000000.

$$x=\frac{-165735±\sqrt{-1349179909775}}{2\times 3782}$$

Ota luvun -1349179909775 neliöjuuri.

$$x=\frac{-165735±5\sqrt{53967196391}i}{2\times 3782}$$

Kerro 2 ja 3782.

$$x=\frac{-165735±5\sqrt{53967196391}i}{7564}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-165735±5\sqrt{53967196391}i}{7564}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -165735 lukuun 5i\sqrt{53967196391}.

$$x=\frac{-165735+5\sqrt{53967196391}i}{7564}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-165735±5\sqrt{53967196391}i}{7564}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5i\sqrt{53967196391} luvusta -165735.

$$x=\frac{-5\sqrt{53967196391}i-165735}{7564}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-165735+5\sqrt{53967196391}i}{7564} x=\frac{-5\sqrt{53967196391}i-165735}{7564}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3782x^{2}+165735x+91000000=0$$

Vähennä 91000000 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3782x^{2}+165735x+91000000-91000000=-91000000$$

Kun luku 91000000 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3782x^{2}+165735x=-91000000$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3782.

$$\frac{3782x^{2}+165735x}{3782}=-\frac{91000000}{3782}$$

Jakaminen luvulla 3782 kumoaa kertomisen luvulla 3782.

$$x^{2}+\frac{165735}{3782}x=-\frac{91000000}{3782}$$

Supista murtoluku \frac{-91000000}{3782} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{165735}{3782}x=-\frac{45500000}{1891}$$

Jaa \frac{165735}{3782} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{165735}{7564}. Lisää sitten \frac{165735}{7564}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{165735}{3782}x+\left(\frac{165735}{7564}\right)^{2}=-\frac{45500000}{1891}+\left(\frac{165735}{7564}\right)^{2}$$

Korota \frac{165735}{7564} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{165735}{3782}x+\frac{27468090225}{57214096}=-\frac{45500000}{1891}+\frac{27468090225}{57214096}$$

Lisää -\frac{45500000}{1891} lukuun \frac{27468090225}{57214096} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{165735}{3782}x+\frac{27468090225}{57214096}=-\frac{1349179909775}{57214096}$$

Jaa x^{2}+\frac{165735}{3782}x+\frac{27468090225}{57214096} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{165735}{7564}\right)^{2}=-\frac{1349179909775}{57214096}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{165735}{7564}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1349179909775}{57214096}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{165735}{7564}=\frac{5\sqrt{53967196391}i}{7564} x+\frac{165735}{7564}=-\frac{5\sqrt{53967196391}i}{7564}$$

Vähennä \frac{165735}{7564} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-165735+5\sqrt{53967196391}i}{7564} x=\frac{-5\sqrt{53967196391}i-165735}{7564}$$