Ratkaise 36x^2-12x-15

$$36 { x }^{ 2 } -12x-15$$

Jaa tekijöihin

$$3\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 3:n suhteen.

$$3\left(12x^{2}-4x-5\right)$$

Tarkastele lauseketta 12x^{2}-4x-5. Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 12x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-4 ab=12\left(-5\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -4.

$$a=-10 b=6$$

Kirjoita \left(12x^{2}-10x\right)+\left(6x-5\right) uudelleen muodossa 12x^{2}-4x-5.

$$\left(12x^{2}-10x\right)+\left(6x-5\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 12x^{2}-10x.

$$2x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Jaa yleinen termi 6x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$3\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$36x^{2}-12x-15=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 36\left(-15\right)}}{2\times 36}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 36\left(-15\right)}}{2\times 36}$$

Kerro -4 ja 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144\left(-15\right)}}{2\times 36}$$

Kerro -144 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2160}}{2\times 36}$$

Lisää 144 lukuun 2160.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2304}}{2\times 36}$$

Ota luvun 2304 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±48}{2\times 36}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±48}{2\times 36}$$

Kerro 2 ja 36.

$$x=\frac{12±48}{72}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±48}{72}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 48.

$$x=\frac{60}{72}$$

Supista murtoluku \frac{60}{72} luvulla 12.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±48}{72}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 48 luvusta 12.

$$x=-\frac{36}{72}$$

Supista murtoluku \frac{-36}{72} luvulla 36.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{5}{6} kohteella x_{1} ja -\frac{1}{2} kohteella x_{2}.

$$36x^{2}-12x-15=36\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$36x^{2}-12x-15=36\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Vähennä \frac{5}{6} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{6x-5}{6}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{6x-5}{6}\times \frac{2x+1}{2}$$

Kerro \frac{6x-5}{6} ja \frac{2x+1}{2} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)}{6\times 2}$$

Kerro 6 ja 2.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)}{12}$$

Supista lausekkeiden 36 ja 12 suurin yhteinen tekijä 12.

$$36x^{2}-12x-15=3\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Laske

$$36x^{2}-12x-15$$