Ratkaise 31-x=(x-1)^2

$$31 - x = ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$31-x=x^{2}-2x+1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$31-x-x^{2}=-2x+1$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$31-x-x^{2}+2x=1$$

Selvitä x yhdistämällä -x ja 2x.

$$31+x-x^{2}=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$31+x-x^{2}-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 31 saadaksesi tuloksen 30.

$$30+x-x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+x+30=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+30. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=-30=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 1.

$$a=6 b=-5$$

Kirjoita \left(-x^{2}+6x\right)+\left(-5x+30\right) uudelleen muodossa -x^{2}+x+30.

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -5.

$$-x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(-x-5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja -x-5=0.

$$x=6 x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$31-x=x^{2}-2x+1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$31-x-x^{2}=-2x+1$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$31-x-x^{2}+2x=1$$

Selvitä x yhdistämällä -x ja 2x.

$$31+x-x^{2}=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$31+x-x^{2}-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 31 saadaksesi tuloksen 30.

$$30+x-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x+30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla 30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 30.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±11}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±11}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±11}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 11.

$$x=\frac{10}{-2}$$

Jaa 10 luvulla -2.

$$x=-5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±11}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta -1.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Jaa -12 luvulla -2.

$$x=6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-5 x=6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$31-x=x^{2}-2x+1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$31-x-x^{2}=-2x+1$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$31-x-x^{2}+2x=1$$

Selvitä x yhdistämällä -x ja 2x.

$$31+x-x^{2}=1$$

Vähennä 31 molemmilta puolilta.

$$x-x^{2}=1-31$$

Vähennä 31 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -30.

$$x-x^{2}=-30$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-30$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-x=-\frac{30}{-1}$$

Jaa -30 luvulla -1.

$$x^{2}-x=30$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Lisää 30 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=-5$$