Ratkaise 3z^2-z-5=0

$$3 z ^ { 2 } - z - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1,468374946$$

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1,135041613$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -1 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Lisää 1 lukuun 60.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{61}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{61} luvusta 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3z^{2}-z-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3z^{2}-z=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$3z^{2}-z=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3z^{2}-z}{3}=\frac{5}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z=\frac{5}{3}$$

Jaa -\frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{6}. Lisää sitten -\frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun \frac{1}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Jaa z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Sievennä.

$$z-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} z-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Lisää \frac{1}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$