Ratkaise 3z^2+3z+20=0

$$3 z ^ { 2 } + 3 z + 20 = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+2,533114026i$$

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-2,533114026i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 3 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Korota 3 neliöön.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 20}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 20.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-240}}{2\times 3}$$

Lisää 9 lukuun -240.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-231}}{2\times 3}$$

Ota luvun -231 neliöjuuri.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{231}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{231}i}{6}$$

Jaa -3+i\sqrt{231} luvulla 6.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{231} luvusta -3.

$$z=\frac{-\sqrt{231}i-3}{6}$$

Jaa -3-i\sqrt{231} luvulla 6.

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3z^{2}+3z+20-20=-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3z^{2}+3z=-20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3z^{2}+3z}{3}=-\frac{20}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$z^{2}+\frac{3}{3}z=-\frac{20}{3}$$

Jaa 3 luvulla 3.

$$z^{2}+z=-\frac{20}{3}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}+z+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{20}{3}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{20}{3} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{77}{12}$$

Jaa z^{2}+z+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{77}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77}{12}}$$

Sievennä.

$$z+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{231}i}{6} z+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{231}i}{6}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$