Ratkaise 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Jaa tekijöihin

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Jos haluat käsitellä lauseketta, ratkaise yhtälö, jossa se on yhtä suuri kuin 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -16 ja q jakaa alku kertoimen 3. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-4$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 luvulla x+4, jolloin ratkaisuksi tulee 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Saa tulos ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -4 ja q jakaa alku kertoimen 3. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-4$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa 3x^{3}+12x^{2}-x-4 luvulla x+4, jolloin ratkaisuksi tulee 3x^{2}-1. Saa tulos ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan 0 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Ratkaise yhtälö 3x^{2}-1=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke uudelleen käyttämällä saatuja juuria. Polynomin 3x^{2}-1 ei ole jakaa tekijöihin, koska sillä ei ole rationaaliluvulle-aliverkkoa.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Laske

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Selvitä 47x^{2} yhdistämällä 48x^{2} ja -x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$