Ratkaise 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -7 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Lisää 49 lukuun -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Ota luvun -11 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{11} luvusta 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Jaa -\frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{6}. Lisää sitten -\frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Lisää -\frac{5}{3} lukuun \frac{49}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Lisää \frac{7}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$