Ratkaise 3x^2-5x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -5 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun -48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

Ota luvun -23 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun i\sqrt{23}.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{23} luvusta 5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-5x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-5x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{6}. Lisää sitten -\frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää -\frac{4}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Lisää \frac{5}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$