Ratkaise 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10,194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3,138998252$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -40 ja c luvulla 96 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Korota -40 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Lisää 1600 lukuun -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Ota luvun 448 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Luvun -40 vastaluku on 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 40 lukuun 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Jaa 40+8\sqrt{7} luvulla 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{7} luvusta 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Jaa 40-8\sqrt{7} luvulla 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Vähennä 96 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Kun luku 96 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Jaa -96 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Jaa -\frac{40}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{20}{3}. Lisää sitten -\frac{20}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{20}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Lisää -32 lukuun \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Lisää \frac{20}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$