Ratkaise 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-3 b=1$$

Kirjoita \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-2x-1.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Ota 3x tekijäksi lausekkeessa 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -2 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±4}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Jaa 6 luvulla 6.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±4}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$