Ratkaise 3x^2-18x+225=6

$$3 x ^ { 2 } - 18 x + 225 = 6$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=3+8i$$

$$x=3-8i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-18x+225=6$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-18x+225-6=6-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-18x+225-6=0$$

Vähennä 6 luvusta 225.

$$3x^{2}-18x+219=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -18 ja c luvulla 219 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 3\times 219}}{2\times 3}$$

Korota -18 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 3\times 219}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-12\times 219}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 219.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-2628}}{2\times 3}$$

Lisää 324 lukuun -2628.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{-2304}}{2\times 3}$$

Ota luvun -2304 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±48i}{2\times 3}$$

Luvun -18 vastaluku on 18.

$$x=\frac{18±48i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{18±48i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±48i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 18 lukuun 48i.

$$x=\frac{18+48i}{6}$$

Jaa 18+48i luvulla 6.

$$x=3+8i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±48i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 48i luvusta 18.

$$x=\frac{18-48i}{6}$$

Jaa 18-48i luvulla 6.

$$x=3-8i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3+8i x=3-8i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-18x+225=6$$

Vähennä 225 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-18x+225-225=6-225$$

Kun luku 225 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-18x=6-225$$

Vähennä 225 luvusta 6.

$$3x^{2}-18x=-219$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-18x}{3}=-\frac{219}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{3}\right)x=-\frac{219}{3}$$

Jaa -18 luvulla 3.

$$x^{2}-6x=-\frac{219}{3}$$

Jaa -219 luvulla 3.

$$x^{2}-6x=-73$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-73+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=-73+9$$

Lisää -73 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=-64$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-64$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-64}$$

Sievennä.

$$x-3=8i x-3=-8i$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3+8i x=3-8i$$