Ratkaise 3x^2-11x-9=0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{229} + 11}{6} \approx 4,355457658$$

$$x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}\approx -0,688790992$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-11x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -11 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+108}}{2\times 3}$$

Lisää 121 lukuun 108.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{229}}{2\times 3}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{229}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{11±\sqrt{229}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{229}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun \sqrt{229}.

$$x=\frac{\sqrt{229}+11}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{229}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{229} luvusta 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{229}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-11x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-11x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-11x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$3x^{2}-11x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-11x}{3}=\frac{9}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=\frac{9}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=3$$

Jaa -\frac{11}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{6}. Lisää sitten -\frac{11}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=3+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=3+\frac{121}{36}$$

Lisää 3 lukuun \frac{121}{36}.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{229}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{229}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{229}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{229}}{6} x-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{229}}{6}$$

Lisää \frac{11}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{229}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}$$