Ratkaise 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan -11 tilalle b ja muuttujan -4 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{11±13}{6} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-4 ja x+\frac{1}{3} on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-4 on positiivinen ja x+\frac{1}{3} on negatiivinen.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{3} on positiivinen ja x-4 on negatiivinen.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$