Ratkaise 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-11. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -33.

$$-1,33 -3,11$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 8.

$$a=-3 b=11$$

Kirjoita \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+8x-11.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 11.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 8 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Lisää 64 lukuun 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±14}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Jaa 6 luvulla 6.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±14}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-22}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Lisää 11 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Kun luku -11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Vähennä -11 luvusta 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Jaa \frac{8}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{3}. Lisää sitten \frac{4}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Lisää \frac{11}{3} lukuun \frac{16}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Vähennä \frac{4}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$