Ratkaise 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-8. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 23.

$$a=-1 b=24$$

Kirjoita \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+23x-8.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 8.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-1=0 ja x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 23 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Korota 23 neliöön.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Lisää 529 lukuun 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Ota luvun 625 neliöjuuri.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-23±25}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -23 lukuun 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{2}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-23±25}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 25 luvusta -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Jaa -48 luvulla 6.

$$x=-8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Kun luku -8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Vähennä -8 luvusta 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Jaa \frac{23}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{23}{6}. Lisää sitten \frac{23}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{23}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Lisää \frac{8}{3} lukuun \frac{529}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Vähennä \frac{23}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$