Ratkaise 3w^2-6w+2=0

$$3 w ^ { 2 } - 6 w + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan w suhteen

$$w=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 1,577350269$$

$$w=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 0,422649731$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3w^{2}-6w+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -6 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Korota -6 neliöön.

$$w=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$w=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 2.

$$w=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-24}}{2\times 3}$$

Lisää 36 lukuun -24.

$$w=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12}}{2\times 3}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$w=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3}}{2\times 3}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$w=\frac{6±2\sqrt{3}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$w=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{3}.

$$w=\frac{2\sqrt{3}+6}{6}$$

Jaa 6+2\sqrt{3} luvulla 6.

$$w=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta 6.

$$w=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}$$

Jaa 6-2\sqrt{3} luvulla 6.

$$w=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$w=\frac{\sqrt{3}}{3}+1 w=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3w^{2}-6w+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3w^{2}-6w+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3w^{2}-6w=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3w^{2}-6w}{3}=-\frac{2}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$w^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)w=-\frac{2}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$w^{2}-2w=-\frac{2}{3}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$w^{2}-2w+1=-\frac{2}{3}+1$$

Lisää -\frac{2}{3} lukuun 1.

$$w^{2}-2w+1=\frac{1}{3}$$

Jaa w^{2}-2w+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-1\right)^{2}=\frac{1}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(w-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Sievennä.

$$w-1=\frac{\sqrt{3}}{3} w-1=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$w=\frac{\sqrt{3}}{3}+1 w=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$