Ratkaise 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Ratkaise muuttujan r suhteen

$$r=3$$

$$r=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 45 molemmille puolille.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon r^{2}+ar+br+15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -8.

$$a=-5 b=-3$$

Kirjoita \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right) uudelleen muodossa r^{2}-8r+15.

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Jaa r toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -3.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Jaa yleinen termi r-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista r-5=0 ja r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Lisää 45 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Kun luku -45 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Vähennä -45 luvusta 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -24 ja c luvulla 45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Korota -24 neliöön.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Lisää 576 lukuun -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Ota luvun 36 neliöjuuri.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{24±6}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Jaa 30 luvulla 6.

$$r=5$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{24±6}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6 luvusta 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Jaa 18 luvulla 6.

$$r=3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=5 r=3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Jaa -24 luvulla 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Jaa -45 luvulla 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Lisää -15 lukuun 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Jaa r^{2}-8r+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$r=5 r=3$$