Ratkaise 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=-20$$

$$n=19$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 1141 molemmilta puolilta.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Vähennä 1141 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon n^{2}+an+bn-380. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 1.

$$a=-19 b=20$$

Kirjoita \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right) uudelleen muodossa n^{2}+n-380.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Jaa n toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 20.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Jaa yleinen termi n-19 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista n-19=0 ja n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Vähennä 1141 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Kun luku 1141 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Vähennä 1141 luvusta 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 3 ja c luvulla -1140 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Korota 3 neliöön.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Lisää 9 lukuun 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Ota luvun 13689 neliöjuuri.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-3±117}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Jaa 114 luvulla 6.

$$n=19$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-3±117}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 117 luvusta -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Jaa -120 luvulla 6.

$$n=-20$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=19 n=-20$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Vähennä 1 luvusta 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Jaa 3 luvulla 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Jaa 1140 luvulla 3.

$$n^{2}+n=380$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Lisää 380 lukuun \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Jaa n^{2}+n+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Sievennä.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$n=19 n=-20$$