Ratkaise 3x^2-19x-18=0

$$3 { x }^{ 2 } -19x-18=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{577} + 19}{6} \approx 7,170137383$$

$$x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}\approx -0,83680405$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-19x-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -19 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Korota -19 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -18.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+216}}{2\times 3}$$

Lisää 361 lukuun 216.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{577}}{2\times 3}$$

Luvun -19 vastaluku on 19.

$$x=\frac{19±\sqrt{577}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{19±\sqrt{577}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{19±\sqrt{577}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 19 lukuun \sqrt{577}.

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{19±\sqrt{577}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{577} luvusta 19.

$$x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6} x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-19x-18=0$$

Lisää 18 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-19x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Kun luku -18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-19x=-\left(-18\right)$$

Vähennä -18 luvusta 0.

$$3x^{2}-19x=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-19x}{3}=\frac{18}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=\frac{18}{3}$$

Jaa 18 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=6$$

Jaa -\frac{19}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{19}{6}. Lisää sitten -\frac{19}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=6+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{19}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=6+\frac{361}{36}$$

Lisää 6 lukuun \frac{361}{36}.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{577}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{577}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{577}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{19}{6}=\frac{\sqrt{577}}{6} x-\frac{19}{6}=-\frac{\sqrt{577}}{6}$$

Lisää \frac{19}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6} x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$